Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?

Üç cisim problemi, birbirini etkileyen üç kütleçekimsel cismin hareket denklemlerini bulmakla ilgilidir. Matematiksel karmaşıklık nedeniyle çözmek zor.

Çevremizdeki doğal dünyayı tanımlayan bilim dalı Fizik'tir. Nesnel gerçekliğe mümkün olduğunca yakın olmak (yani, bilim insanının herhangi bir kişisel önyargısı olmadan yalnızca en yüksek doğrulukla tanımlanabilecek şeylere güvenmek için), fizik, temel çalışma aracı olarak matematiğe dayanır. Bu nedenle, matematikteki ilerlemeler genellikle teorik fiziğin ilerlemesine yardımcı olur ve daha sonra pratik uygulama ile doğrulanabilir. Bununla birlikte, ilgili matematik çözülemeyecek kadar karmaşık hale gelirse, fizikteki potansiyel ilerleme de etkilenir.

Yerçekimi mekaniği (nesnelerin yerçekimi nedeniyle hareketi), fiziğin ağırlıklı olarak matematiğe dayanan en eski dallarından biridir. Yerçekimi ile ilgili böyle bir problem Üç Cisim Problemidir .

Sorun Bildirimi
Newton'un yerçekimi teorisi, iki yerçekimi kaynağı arasındaki etkileşimi oldukça yüksek bir doğrulukla açıklar. Ancak gerçek dünya ikiden fazla gövdeye sahip sistemlerden (örneğin güneş sistemi) oluştuğundan, ikiden fazla gövde için bir denklem gereklidir.

Üç Cisim Problemi fizikte üç yerçekimi kaynaklardan (üç gezegen, üç yıldız ya da bir kombinasyonu) ile kapalı bir sistemin evrimi (zaman içinde değişim) (dış kuvvetlerin mevcut) ile ilgilidir. Amaç, herhangi bir anda üç cismin konum ve momentum değerini verecek bir çözüme ulaşmaktır.

yörüngeler.  Güneş dünya, ay yörüngeleri diyagramı.  Yön ve açılarla yörünge hareketleri.  Yörünge yönlerini gösteren eliptik oklar.  Fizik, astronomi illüstrasyonu.  Beyaz arkaplan.  Vektör grafiği
Dünya, güneş ve ay arasındaki etkileşim, aya uydu göndermek için doğru bir şekilde çözülmesi gereken 3 cisimli bir problemdir (Fotoğraf Kredisi: grayjay/Shutterstock)

Gerekli Çözüm Türü
Amaç, Newton'un yerçekimi teorisini kullanarak herhangi bir zamanda sistemdeki her bir cismin konumunu ve momentumunu belirleyecek bir denkleme (veya bir denklemler dizisine) ulaşmaktır.

Çözümün uygulanabilir olması için gereksinimler şunlardır:

Çözüm genel olmalıdır , yani üç gövdenin tüm olası başlangıç ​​konfigürasyonları için çalışmalıdır . Daha spesifik olarak, bir denklem (veya bir denklem seti) biçimindeki bir çözüm, daha sonraki herhangi bir zamanda sadece zamanın değerini takarak üç cismin de konumunu ve momentumunu verecek bir çözüm gereklidir.
Örneğin, y(t) = u denklemi, Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC t + 0,5 , Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC a , Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABCt 2 , y için genel bir çözümdür , burada cevap sadece t'nin değeri girilerek hesaplanabilir . Denklem herhangi bir değeri için de geçerli olacaktır u ve bir (başlangıç koşulları).
Çözüm kapalı form olmalıdır . Kapalı form çözümü, çözümün sonlu sayıda matematiksel işlem (+, -,, Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC, , Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC, , Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC, vb) değişkenler arasında.
Örneğin, Denklem y = mx + c tek çarpma ve tek bir ilaveli ifade etmek için kullanılır, çünkü bir kapalı form çözümü y . Benzer şekilde, denklem, y = e x  +, Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC bir kapalı form ifadesidir çünkü bir üs, bir toplama ve bir karekök vardır. Bununla birlikte, ekspresyon, y = 1 + x + x 2 + x 3 + ...... olan bir kapalı form çözümü  eklemeler sonsuz sayıda ifade için gerekli olduğundan y .
sabit ivmeli doğrusal hareket denklemleri
Kinematik denklemler, kapalı biçimli ifadelerin örnekleridir. Herhangi bir zaman değeri için konum mutlak doğrulukla tahmin edilebilir. (Fotoğraf Kredisi: zizou7/Shutterstock)

Bir çözüm belirtilen özelliklere sahip değilse, o çözüm atılır çünkü:

Genel bir çözümün olmaması, her benzersiz başlangıç ​​konfigürasyonu için yeni bir denklemin türetilmesi gerektiği anlamına gelir. Üç cisim için sonsuz sayıda başlangıç ​​konumu olabileceğinden, sonsuz sayıda çözüm türetilmesi gerekecektir.
Kapalı form çözümünün olmaması, ne zaman duracağına dair herhangi bir gösterge olmaksızın sonsuz sayıda terimin hesaplanması gerektiği anlamına gelir. Bu nedenle, doğruluk belirlenemez (çünkü bir son nokta yoktur) ve kullanılan hesaplama gücü çok büyük olacaktır.
Tanım,Of,The,Euler's,Constant,In,İki,Farklı,Yollar
Bu tür denklemler genellikle çok yavaş yakınsadıkları için tercih edilmez, bu da çok fazla hesaplama gücü ve zaman gerektirdiğinden istenmeyen bir durumdur. (Fotoğraf Kredisi: benjaminec/Shutterstock)

Matematiksel Çıkmaz ve Fiziksel Yorumlama
Newton'a göre, yerçekimi nedeniyle r mesafesi ile ayrılan iki cisim arasındaki çekim kuvveti şu şekilde verilir:

, Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC     nerede,

m a , m b  = sırasıyla a  ve b cisimlerinin kütleleri ,

, Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC= iki cismin merkezlerini birleştiren doğru boyunca birim vektör (uzunluk vektörü 1).

Newton's,Hukuk,Of,Evrensel,Yerçekimi
Newton'un yerçekimi yasası (Fotoğraf: Nasky/Shutterstock)

Üç kütle, m a , m b  ve m c herhangi bir rastgele (rastgele) konfigürasyonda uzaya yerleştirilsin. Üç cisimlerin her biri arasındaki mesafelerin olsun R ab , r, AC ve r, bc sırasıyla. t zamanının herhangi bir anında üç kütle için sırasıyla r a , r b  ve r c  ve momenta p a , p b  ve p c konumlarını bulmak istiyoruz .

Her kütle, diğer ikisi nedeniyle yerçekimi çekiminden etkilenir. Bu matematiksel olarak şu şekilde ifade edilebilir:

Kuvvet yaşadığı m a  dolayı m b ve m c :      , Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC
m b'nin m a ve m c  nedeniyle maruz kaldığı kuvvet :      , Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC
Kuvvet yaşadığı m c  nedeniyle m a ve m a :      , Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC
nerede , Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC, , Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC ve , Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABCsırasıyla a , b ve c kütlelerinin ivmeleridir .

Yukarıdaki denklemler bir olan sistem diferansiyel denklemler , Newton'un 2 aslında nd  yasa (yerçekimi kuvveti momentum değişim hızına eşittir) yerçekimi başvurmuştur.

Üç kütle birbirini etkilediği için yukarıdaki denklemler birleştirilmiş bir sistemdir. Sistemin enerjisi, aşağıdaki kısmi diferansiyel denklem sistemi ile verilir:

, Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC      , Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC      , Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC
nerede,

H = Sistemin Toplam Enerjisi (kinetik + potansiyel)

p i = her kütlenin momentumu

r i = her kütlenin konumu

Denklem (i)  bu nakleder zamanla konumunun değiştirilmesi (örneğin, hız) toplam enerjinin ivme değişikliği (hız = değişiklikle enerji değişim oranına eşittir, Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC momentumdaki değişim)

Denklem (ii) nakleder o zaman ivme değişikliği (yani, kuvvet) toplam enerjinin pozisyonda değişim (kuvvet = değişikliği ile enerji değişim oranına eşittir, Üç Cisim Problemi Nedir ve Çözülmesi Neden Zordur?, Science ABC, Science ABC kütlenin yer değiştirmesi)

İşte bu noktada bir sorunla karşılaşıyoruz .

Yukarıdaki denklem sistemi integrallenemez, bu nedenle herhangi bir zamanda konumu ve momentumu geleceğe (veya geçmişe) süresiz olarak tahmin edecek genel bir kapalı form çözümü bulmak imkansızdır.

Fiziksel olarak bunun nedeni, her bir cismin hareketinin diğer ikisinin hareketine bağlı olması ve sistemin kütle merkezinin sürekli olarak konum değiştirmesidir. Cisimlerin başlangıç ​​konumunu ve momentumunu tam bir doğrulukla ölçmek mümkün olmadığından (doğruluk belki %99,99 olabilir, ancak %100,00 değil), başlangıç ​​koşullarının ölçümünde her zaman küçük bir belirsizlik (%0,01 veya daha fazla veya daha az) vardır. Son durum, başlangıç ​​koşullarına bağlı olduğundan, bu sistemde, başlangıç ​​durumundan son duruma doğru evrildikçe, son durumdaki herhangi bir belirsizlik katlanarak artar. Süre ne kadar uzun olursa, nihai durumdaki belirsizlik o kadar büyük olur. Yeterli zaman geçmişse, fiili son durum teorik olarak hesaplanan durumdan tamamen farklı olabilir.

(Kontrol Bu olmayan integrallenebilme bir titiz matematiksel bir çalışma istiyorsanız out)

Entegre Edilemezlik ve Alternatif Çözümlerin Etkileri
Son durumun başlangıç ​​koşullarına bu kritik bağımlılığı, sistemi kaotik hale getirir . Örneğin, ilk koşulun ölçümündeki 1 mm'lik bir hata bile, milyonlarca yıl sonra nihai durumun belirsizliğinde büyük bir artışa yol açar. Böylece geleceğe sonsuza kadar konum ve ivme kazandıracak bir ifade bulma hedefi kaçınılmaz olarak başarısız olur.

Etiketleri ile çift sarkaç
Çift Sarkaç, kaotik bir sistemin bir örneğidir. Başlangıç ​​koşullarındaki küçük değişiklik, son koşulda üstel bir değişikliğe dönüşür. (Fotoğraf Kredisi: Der Messer/Wikimedia commons)

Ama bekleyin, şimdi NASA'nın Dünya'nın yanından yüzlerce yıl sonra gelen kuyruklu yıldızlar hakkında nasıl tahminlerde bulunduğunu veya güneş sisteminin binlerce veya milyonlarca yıl ilerideki yaygın olarak kabul edilen gelecekteki durumu hakkında nasıl tahminlerde bulunduğunu merak ediyor olabilirsiniz.