MATEMATİKTE SONSUZ KAVRAMI

Matematikte sonsuz kavramı ile ilgili bu yazıyı yazmamdaki amaç, öğrencilerimize hem sonsuz kavramıyla karşılaşabilecekleri durumları izah etmeye çalışmak hem de onlara matematikteki sonsuz gerçeğini özetle tanımlamak ve tanıtmaktır. 
Sonsuz kelimesinin sözlük anlamı; sıfat olarak sonu olmayan, bitmeyen, ebedi, ölçülemeyecek kadar çok veya büyük olan, isim olarak sonu ve sınırı olmayan gibi anlamlarına sahiptir (TDK). 
Buna göre sonsuza ulaşma imkanı yoktur. Dolayısıyla sonsuz kavramı sadece tasavvur edilebilir. 

Matematiğin esas elemanları noktalar ve dolayısıyla nokta kümeleridir. Uygulama ve kullanma açısından öne çıkan nokta kümeleri de doğal sayılar kümesi, tam sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesi ve reel sayılar kümesi gibi sayı kümeleridir. Sayılar arasında kurulan bağıntılar, bulunan ilişkiler ve yapılan işlemler nedeniyle sayı kümeleri üzerinde oldukça fazla sayda teori üretilmiş ve çalışmalar yapılmıştır. Sayı kümelerinin sonlu, sonsuz, sayılabilir, sayılabilir sonsuz, sayılamaz, açık, kapalı, yoğun, mükemmel, sınırlı ve sınırsız olması veya olmaması söz konusudur. Bir sayı veya nokta kümesinin de bu kavramlardan biri olan sonsuz küme olup olmaması durumu etraflıca çalışılmış bir konudur.
Sonsuz kavramı kolayca bir tanım yardımıyla hemen açıklanacak bir kavram değildir. Dolayısıyla sonsuz kavramını tanıyabilme bakımından özetle de olsa aşağıdaki teorik açıklamaların yapılma zorunluluğu vardır.

Tanım. Bir öz alt kümesi ile eşit güçlü (eşdeğer) olan kümeye sonsuz küme denir. Diğer bir deyişle kendisi ile bir öz alt kümesi arasında birebir ve örten olacak şekilde en az bir fonksiyon bulunabiliyorsa bu kümeye sonsuz küme adı verilir.

Tanım. Bir kümenin elemanlarının sayısına bu kümenin kardinal sayısı (kümenin boyu veya uzunluğu) denir. O halde kardinal sayılar bir kümenin kardinalitesi olarak bilinen büyüklüğünü göstermek için kullanılan sayılardır.

Tanım. Kardinal sayısı bir doğal sayı olan kümelere sonlu küme adı verilir. Diğer bir deyişle, n bir doğal sayı olmak üzere {1,2,…,n} kümesinden bir A kümesi üzerine birebir ve örten olacak şekilde bir fonksiyon varsa A kümesine sonlu küme denir.

Tanım. Doğal sayılar kümesinin bir alt kümesi ile eşit güçlü olan kümeye sayılabilir küme denir.

Tanım. Bir A kümesi ile doğal sayılar kümesi arasında bire bir ve örten olacak şekilde f fonksiyonu varsa A kümesine sayılabilir sonsuz küme adı verilir.

Bu tanıma göre doğal sayılar kümesi kendisi ile eşit güçlü olduğundan sayılabilir sonsuz kümedir.

Tanım. Doğal sayılar kümesi ile bir A sonsuz kümesi arasında birebir ve örten olacak şekilde bir fonksiyon yoksa (bulunamıyorsa) A kümesine sayılamaz küme adı verilir.

Görüldüğü üzere matematikte sonsuz kavramı nokta kümeleri üzerine oturtulmuş bir kavramdır. Bu kavram aynı zamanda bir fonksiyonun limiti alınırken de karşılaşılan bir kavramdır. Yani bir noktanın bir komşuluğunda o noktaya yaklaşılırken bu komşuluktaki noktaların fonksiyon altındaki değerlerinin kümesi bir sonsuz küme olabilir. Bu durum genellikle fonksiyonun limiti sonsuz veya söz konusu noktada fonksiyonun bir reel değerine ulaşılamaz diye ifade edilir. Bazen de bir fonksiyonun büyüyen değerlerde yani sonsuzda limiti alınabilir. Büyüyen değerler için yani sonsuz için limit hesaplanırken fonksiyonun değer kümesi sonsuz, sınırlı veya sınırsız olabilir. Elde edilen değer kümesinin durumuna göre limit vardır, yoktur veya sonsuzdur yani ulaşılamazdır gibi yorumlar yapılabilecektir. 

SONSUZ KAVRAMINA AİT BAZI ÖZELLİKLER

1) Sonsuz kavramıyla tanışık ve barışık olmak için dizi ve serilerle uğraşmak gerekir. Çünkü dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olduğundan 1 den başlayarak sonsuza kadar devam eden (gittikçe büyüyen) bütün tam sayıların değerleri verilen dizi yardımıyla bulunacağı için bu şekilde dizinin değer kümesi elde edilir. Aslında bu yapılan iş dizinin değişkeninin sonsuz büyümesi halinde limitini hesaplamaktır. Zaten dizilerin başka da limitini hesaplama durumu yoktur. Çünkü tam sayılar kümesinin tam sayı olan hiçbir yığılma noktası yoktur. Bu durum seriler için de aynıdır. Yani serinin sonlu toplamlar dizisinin limiti serinin varsa reel değerini ifade eder. Buradaki limitte yine değişkenin sonsuz büyümesi halidir. Sonuç olarak dizi ve seriler çalışılırken hem limit alınması durumunda hem de ıraksaklık hallerinde sonsuz kavramıyla iç içe olunacaktır. 

2) Matematik sonsuzlukta aranmamalıdır. Sonsuzluk matematikte var olan sadece bir gerçektir.

3) Değişkenini sonsuza büyümesi fonksiyonun değerlerinin de her zaman sonsuza büyümesi demek değildir. Bazen de sonlu veya sınırlı değer kümeleri elde edilip bir reel sayıya yaklaşılabilir. 

4) Matematikte her sonsuz aynı sonsuz değildir.

5) Doğal sayılar kümesinin kardinal (boyu) sayısı en küçük sonsuz olarak ifade edilir. 
Diğer sonsuz kümelerin kardinalitesi doğal sayıların sonsuzu ile karşılaştırılır veya ilişkilendirilir.

6) Sonsuz toplamların hesaplanması bilinmeseydi alan ve hacim gibi çoğu ölçü değerleri hesaplanamazdı. Çünkü bir eğri altında kalan alanın hesaplanması, eğri altında oluşturulan n- sayıda dikdörtgenin alanları toplamının n-nin sonsuz büyümesinin limiti ile yapılmaktadır. Aynı şekilde hacim hesaplanması da böyledir. 

7) İki sonsuz toplanırken veya çarpılırken toplanan veya çarpılan sonsuzların hangi sonsuz olduğu önemli değildir ve her iki işlemin sonucu da yine sonsuzdur. Ancak çıkarılırken veya bölünürken belirsizlik halidir. Sonsuzla ilgili başka belirsizlik halleri de vardır.

8) Sonsuz işaret olarak artı sonsuz veya eksi sonsuz olabilmektedir.

9) Sonsuz herhangi bir sayı ile toplanabilir, farkı alınabilir, çarpılabilir (sıfır hariç) ve bölünebilir olup sonuç yine sonsuzdur.

10) Reel sayılar kümesinin sonsuz sayıda elemanı olmasına rağmen sonsuz bir reel sayı değildir. Hatta sonsuz bir sayı değildir.

11) Çapı sonlu olan küme sınırlı küme, çapı sonsuz olan küme sınırsız kümedir. 

SONSUZ BOYUT KAVRAMI

Matematikte boyut kavramı vektör uzayları (lineer uzaylar) ile ilgili bir kavramdır. 
Tanım. V bir vektör uzayı (lineer uzay) olmak üzere bu uzayda lineer bağımsız elemanların sayısı en fazla n olabiliyorsa bu uzaya n boyutlu vektör uzayı denir.
Bir vektör uzayının boyutu sıfırsa uzay bir noktadır.
Bir vektör uzayının boyutu 1 ise uzay orijinden geçen bir doğrudur.
Bir vektör uzayının boyutu 2 ise uzay orijinden geçen bir düzlemdir.
Bir vektör uzayının boyutu 3 ise uzay içinde bulunduğumuz üç boyutlu uzaydır.
Buna göre uzayın boyutu n sayısı ile ilgilidir. Uzayın lineer bağımsız elemanlarının sayısı sonlu ise vektör uzayı sonlu boyutlu vektör uzayı, aksi halde sonsuz boyutlu vektör uzayı diye adlandırılır.
Bu arada en iyi bildiğimiz 0,1,2 boyutlu uzaylar ve içinde yaşadığımız uzay olan üç boyutlu reel uzaydır. Bu uzayların dışındaki sonlu boyutlu uzaylarda ve sonsuz boyutlu uzaylarda yapılan analiz çalışmalarında bilinen uzaylarda yapılan analiz çalışmaları dayanak olarak dikkate alınmaktadır. Yaşadığımız üç boyutlu uzay içerisinde dört boyutlu, beş boyutlu veya daha fazla boyutlu veya sonsuz boyutlu uzaylara ait geometrik yapılar tasvir edilemediğinden bu uzaylardaki norm ve analiz uygulamaları özellikle üç boyutlu uzaylardaki norm ve analiz uygulamalarının genişletilmesi olarak düşünülmektedir. Bu düşüncenin gereği matematik sistematiğinin ancak bu şekilde izin vermesindendir. Aksi halde insanların bizzat yaşamadığı örneğin 10 boyutlu bir uzayda temeli 3 boyutlu uzaya dayanmayan bir matematiksel analizin doğruluğunu test etme ve ispat etme imkanı yoktur. Sonsuz boyutlu uzaylar için de elbette aynı durum söz konusudur. Özellikle fiziksel açıdan bakıldığında 3 den yüksek boyutlu uzaylar adına yapılan aykırı bir çalışmanın üç boyutlu uzayın laboratuvarında doğruluğunu ispatlama imkanı bulunamaz. Dolayısıyla 3 den yüksek boyutlu uzaylardaki her türlü çalışmalarda mevcut matematik alt yapıları, işlemler ve özellikleri, fonksiyon, fonksiyonel veya operatör tanımlamaları, normlu sistemlerin kuruluşu göz önüne alınmaktadır. 
Prof. Dr. Mustafa Kandemir