TOPLAM ÇARPIM SEMBOLLERİ ÖZELLİKLERİ

Toplam Sembolüne Giriş
Toplam ve çarpım sembolleri, aynen üslü sayılardaki gibi, uzun bir yazımı kısaltmak için bulunmuş özel notasyonlardır. Bu semboller seriler, diziler gibi sonsuz terim ve bunların toplamını ilgilendiren konularda kullanılır. Toplam sembolü ve özelliklerine bakalım.

1. ∑k=1nc=c+c+⋯+c=n⋅c(c∈R)
2. ∑k=1nk=1+2+⋯+n=n(n+1)2
3. ∑k=1n2k−1=1+3+⋯+2n−1=n2
4. ∑k=1n2k=2+4+⋯+2n=n(n+1)
5. ∑k=1nk2=12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6
6. ∑k=1nk3=13+23+⋯+n3=[n(n+1)2]2
7. ∑k=1n1k(k+1)=11⋅2+12⋅3+⋯+1n(n+1)=nn+1
8. ∑k=1nk(k+1)=1⋅2+2⋅3+⋯+n⋅(n+1)=n(n+1)(n+2)3
9. ∑k=1nrk−1=1+r+r2+⋯rn−1=1−rn1−r
10. ∑k=1nk(k+1)!=12!+23!+⋯+n(n+1)!=1−1(n+1)!
11. ∑k=1nk⋅k!=1⋅1!+2⋅2!+⋯+n⋅n!=(n+1)!−1

∑k=1202k−1
Toplam sembolünde bir alt ve bir üst sınır verilir.
Alt sınırdan başlayıp bir artırarak içerideki ifade hesaplanır ve araya + konur. Yukarıdaki ifadede içeri önce 1 sonra 2 ve en sonunda 20 koyup çıkan terimleri toplayacağız.

∑k=1202k−1=(2⋅1−1)+(2⋅2−1)+⋯+2⋅20−1=1+3+⋯+39
Örneğin ∑12k=1k2 nin ifade ettiği toplamı bulalım:

∑k=112k2=(12)+(22)+⋯+(122)
Başka bir tane:

∑k=314k+2=(3+2)+(4+2)+⋯+(14+2)
Şimdi de tersini düşünelim. Verili bir toplamı bu sembolle nasıl ifade edebiliriz. Örneğin 1+3+5+⋯+73. Tek sayıları üretmek için 2k+1 ya da 2k−1 gibi bir şey kullanmamız gerektiğini zaten sayılar konusundan biliyoruz. Alt sınırı 1 den başlatalım, dolayısıyla ilk sayının 1 olabilmesi için 2k−1 i kullanmalıyız.

∑k=12k−1=1+3+⋯
Üst sınırı nasıl bulacağız? Verilen toplamda en son sayı 73. İçerdeki ifadenin üretmesi gereken son sayı bu olduğuna göre 73=2k−1, son k değerinin 37 olduğu görülür.

1+3+⋯+73=∑k=1372k−1
Başka bir toplam: 3+7+11+⋯+59. Terimler dörder dörder arttığı için 4k gibi bir ifade kullanmalıyız. Örneğin 4k da k=1,2,… yazarsak 4,8,12 gibi dörder dörder artan terimler oluştuğunu görürüz. İlk terim 3  ikinci terim 7, dikkat edersek verilen toplamdaki terimler, 4k nın ürettiği terimlerden 1eksik. Dolayısıyla 1 çıkarmamız yeterli. 4k−1 ifadesi k=1 için 3, k=2 için 7 … terimlerini üretir. Son terim 59 olduğundan 4k−1=59 ve üst sınır için k=15 çıkar.

3+7+11+⋯+59=∑k=1154k−1
Artışın sabit olduğu toplamlarda, artış miktarını k nın çarpanı yaparak bu artışı sağlayabiliyoruz. Sorulan ilk terime göre de bir sayı ekleyip çıkararak gereken kaymayı sağlıyoruz. Aslında alt sınırı 1 den başlatmamıza da gerek yok. Bu konuda tamamen serbestiz. Örneğin 2+7+12+⋯+67 toplamında alt sınırı −2den başlatalım. Ancak önce artış miktarına bakalım, 5. Demek ki 5k gibi bir ifade kullanmalıyız. Alt sınırı −2 istiyoruz. Şu an k=−2 için 5k=−10 oluyor. Bize sorulan toplamda ilk terim 2, demek ki 12eklemeliyiz. 5k+12, ifadesi k=−2 için 2, k=−1 için 7 … terimlerini üretir. Üst sınır için gene bulduğumuz ifadeyi en son terime eşitleyeceğiz. 5k+12=67 ifadesinden k=11 çıkar.

2+7+12+⋯+67=∑k=−2115k+12
Artış miktarı eşit değilse terimler arasında ortak bir özellik görmeye çalışacağız.

Örnek
Aşağıdaki ifadelerde sağ tarafı tamamlayınız

−2+1+4+⋯+25=∑k=0
1−2+3−4+⋯+31=∑k=1
1+4+9+⋯+144=∑k=1
2+4+6+⋯+42=∑k=−1
13+23+⋯173=∑k=2
1+2+22+⋯2n=∑k=1
1⋅2+2⋅3+⋯50⋅51
a1+a2+⋯+an=∑k=1
12+23+⋯+1112=∑k=1
Çözüm
Artış düzenli ve artış miktarı 3, 3k gibi bir terim kullanabiliriz. Sağda verilen alt indis k=0, ilk konacak değer bu olacak ve bunun ilk terimi üretmesini istiiyoruz, 3k−2. Son terim 25 olduğundan en son k değeri 3k−2=25⇒k=9 olmalıdır.
−2+1+4+⋯+25=∑k=093k−2
Artış sabit ve 1, ancak işaret her terimde değişiyor. Önce işareti düşünmeden sol tarafı üretelim, belli ki sadece k yetiyor. İşaret işini −1 çarpanı koyarak çözüyoruz. (−1)k+1⋅k ifadesinde (−1)k+1çarpanının görevi k nın ardışık değerleri için farklı işaretler üretmektir. Bu çarpanı (−1)k−1 de yapabilirdik, önemli olan ilk terim pozitif olduğundan k=1 değeri için çift bir üs elde etmek. Son terim zaten son k değeri oluyor:
1−2+3−4+⋯+31=∑k=131(−1)k+1⋅k
Artış sabit değil, terimler arasında ortak bir özellik yakalamaya çalışıyoruz. Bu durumda oldukça basit, çünkü böyle toplamlarla çok karşılaşacağız. İlk terim 12 ikinci terim 22 ve son terim de 122, dolayısıyla k2 yeterli. Alt indis 1 olduğundan k2 ilk terimi üretiyor. Sağda verilen alt indis 2 olsaydı toplam sembolünün içine koyacağımız ifadeyi (k−1)2 olarak ayarlamalıydık:
1+4+9+⋯+144=∑k=112k2
Çift sayılar üretmek için 2k gibi bir terim kullanmalıyız, zaten sayılar konusundan da biliyor olmalıyız. Ancak alt indis k=−1 verilmiş dolayısıyla ilk terim 2 yi üretebilmek için 2k+4 kullanmalıyız. Son terim 42, üst indis 2k+4=42⇒k=19
2+4+6+⋯+42=∑k=−1192k+4
Çok belli ki k3 kullanmalıyız ancak alt indis 2 olduğundan (k−1)3 olmalı. Son terim 17 olduğundan üst indis 18 olmalı:
13+23+⋯173=∑k=218(k−1)3

Çarpım Sembolüne Giriş 

Benzer şekilde çarpım sembolünde de bir alt ve üst sınır vardır. İçerideki ifade alt sınırdan başlanarak hesaplanır ve bulunan terimler çarpılır.
Örneğin

∏k=1102k+2=4⋅6⋯22
 

Örnek
Aşağıdaki ifadelerde sağ tarafı tamamlayınız

1⋅2⋯⋅100=∏k=0
4⋅8⋅16⋅1024=∏k=−1
2⋅4⋅6⋯46=∏k=2
2!⋅3!⋯15!=∏k=3
3⋅(2⋅32)⋅(3⋅33)⋯(10⋅310)=∏k=−1
Çözüm
Artış miktarı sabit ve 1, dolayısıyla k nın çarpanı 1. Alt indis k=0 ve ilk terim 1 olduğundan k+1kullanırsak verilen terimler oluşur. Son üretilecek terim 100 olduğundan üst indis 99 olmalı:
1⋅2⋯100=∏k=099k+1
Terimler 2 nin bildiğimiz üsleri, k yı 2 nin üstüne koymalıyız. Alt indis k=−1 ve ilk terim 4olduğundan 2k+3 istenen terimleri üretir. Son üretilecek terim 1024=210 dur ve dolayısıyla son kdeğeri 7 olmalıdır.
4⋅8⋯1024=∏k=−172k+3
Çift sayılar üretmeliyiz. Yani 2k. Alt indis k=2 olduğundan 2k−2 ile geriye 2 br kaymayı sağlıyoruz. Son terim 46 olduğundan üst indis 2k−2=46 dan 24 çıkar.
2⋅4⋯46=∏k=2242k−2
Terimler gene birer arttığından k nın katsayısı 1.
2!⋅3!⋯15!=∏k=316(k−1)!
Parantez içindeki ilk çarpan ardışık sayılar iken ikinci çarpan 3 ün birer artan üsleridir. İlk terim sadece3 gibi görünüyor ancak ikinci terimi bir geriye alırsak 20⋅31 olması gerektiği ve bunun da 3 olduğu görülür.
3⋅(2⋅32)⋅(3⋅33)⋯(10⋅310)=∏k=−18(k+2)⋅3k+2

Toplam Çarpım Sembolü ile ilgili kısaca özet bilgi

∑k=1nc=c+c+⋯+c=n⋅c(c∈R)
∑k=1nk=1+2+⋯+n=n(n+1)2
∑k=1n2k−1=1+3+⋯+2n−1=n2
∑k=1n2k=2+4+⋯+2n=n(n+1)
∑k=1nk2=12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6
∑k=1nk3=13+23+⋯+n3=[n(n+1)2]2
∑k=1n1k(k+1)=11⋅2+12⋅3+⋯+1n(n+1)=nn+1
∑k=1nk(k+1)=1⋅2+2⋅3+⋯+n⋅(n+1)=n(n+1)(n+2)3
∑k=1nrk−1=1+r+r2+⋯rn−1=1−rn1−r
∑k=1nk(k+1)!=12!+23!+⋯+n(n+1)!=1−1(n+1)!
∑k=1nk⋅k!=1⋅1!+2⋅2!+⋯+n⋅n!=(n+1)!−1
Bu formüllerin hem toplam formülü ile kısaltılmış hallerini hem de açık halde hangi toplamı ifade ettiklerini bilmek durumundayız. Toplam formülünün özelliklerini de açıklayarak adım adım bu formülleri nasıl kullanacağımızı görelim.

Öncelikle içerdeki bir çarpan dışarı çıkabilir. Örneğin ∑3k=3∑k dır. İkinci olarak, toplam sembolü toplama ve çıkarma üzerine dağılır. Bu iki özelliği içeren bir örnek:

Örnek
 

∑k=1123k2+k3

toplamının değeri nedir?

Çözüm
İki özelliği uygularsak

∑k=1123k2+k3=∑k=1123k2+∑k=112k3=3∑k=112k2+∑k=112k3=312⋅13⋅256+[12⋅132]2=8034
 

Toplam sembolü çarpma üzerine dağılmaz, ∑(k+1)(k−1)≠∑(k+1)⋅∑(k−1). Bu durumda çarpmayı yapmak durumundayız.

Örnek
∑k=130(k−1)(k+2) toplamının değeri nedir?

Çözüm
 

∑k=130(k−1)(k+2)=∑k=130k2+k−2=∑k=130k2+∑k=130k−∑k=1302=30⋅31⋅616+30⋅312−30⋅2=9860
 

Tüm formüllerde alt sınır k=1 dir, indis 1 den başlamazsa bazı ayarlamalar yaparak 1 den başlatıyoruz. Alt sınırı 1 den başlatmak için c eklememiz gerekiyorsa üst sınıra da bu sayıyı ekliyoruz ve içerde kgördüğümüz yere k−c yazıyoruz. ?

Not
Yani içerde tersini yapıyoruz. Örneğin k yı 1 e indirmek için 2 eklemişsek içerde k=k−2 dönüşümü yapıyoruz.

Örnek
∑k=320(k+1)⋅k toplamının değeri nedir?

Çözüm
Alt sınırı 1 yapmak için 2 çıkarmalıyız, aynısını üst sınıra da yapıyoruz ve içerde de k=k−2 dönüşümü yapıyoruz.

∑k=320(k+1)⋅k=∑k=118(k−2+1)⋅(k−2)=∑k=118(k−1)⋅(k−2)=∑k=118k2−3k+2=∑k=118k2−3k+2=∑k=118k2−3∑k=118k+∑k=1182=18⋅19⋅376−318⋅192+2⋅18=1632
 

Örnek
∑k=−223(2k−1)(k+1) toplamının değeri nedir?

Çözüm
Alt sınırı 1 yapmak için 3 eklemeliyiz. Demek ki içerde k=k−3 dönüşümü yapmalıyız.

∑k=−223(2k−1)(k+1)=∑k=126(2[k−3]−1)([k−3]+1)=∑k=126(2k−7)(k−2)=∑k=1262k2−11k+14=2∑k=126k2−11∑k=126k+∑k=12614=226⋅27⋅536−1126⋅272+14⋅26=8855
 

Örnek
1⋅2+4⋅3+9⋅4+⋯+169⋅14 toplamının değeri nedir?

Çözüm
Terimlerde ilk çarpanlar 12,22,32,…132 şeklinde gitmektedir. İkinci çarpan hep bir arttığından toplam şöyle ifade edilebilir:

∑k=113k2(k+1)
Bundan sonra toplama üzerine dağılma özelliği ve formülleri kullanılarak sonuç hesaplanabilir.

Formülleri her zaman kullanmak uzun olabilir. Önce Gauss yöntemini hatırlayalım. Artışın sabit olduğu bir toplamda cevap

ilk terim + son terim2×Terim sayısı
Ayrıca terim sayısı formülü:

Terim Sayısı=Son Terim−İlk TerimArtış Miktarı+1
Toplamı tersten alt satıra yazdığımızda alt alta gelen sayıların toplamı hep son terimle ilkin toplamı olmaktadır. Bunun sebebi artışın sabit olmasıdır. Örnekte üst satırda ardışık terimler 3 artarken alt satırda 3azalmakta. Bu iki satırın toplamı için ilk ve son toplamını terim sayısı ile çarpmalıyız.

∑=5+8+11+⋯+74=74+71+68+⋯+5=79+79+79+⋯+79Terim sayısı kadar
 

Örneğin: 5+8+11+⋯+74 toplamı için önce terim sayısını bulalım

Terim Sayısı=74−53+1=24
Toplamın değeri formülden

ilk terim + son terim2×Terim sayısı=79⋅242=948
 

Bunun yanında kareli ve küplü terim içeren sorularda da alt indisi değiştirmeden önce açık toplama bakmak iyidir. Örneğin

Örnek
∑k=−2021k3 toplamının değeri nedir?

Çözüm
İndis değiştirmeye kalksak içerde k=k+21 dönüşümü yapıp bir binom açılımı yapmak gerekecek. Bunun yerine terimleri yazmaya başlayalım:

∑k=−2021k3=(−20)3+(−19)3+⋯+(21)3
−20 den +21 e kadar olan sayıların küpleri toplanmakta, karşılıklı ters işaretli terimler birbirini götüreceğinden cevap 213=9261

Örnek
6⋅7+7⋅8+⋯+99⋅100 toplamının değeri nedir?

Çözüm
Toplam 1⋅2+2⋅3+⋯+99⋅100 olsaydı formüle göre cevap

100⋅101⋅1024=257550
Sorulan toplam 6⋅7 ile başlıyor. Olmayan terimler:

1⋅2+⋯+5⋅6=6⋅7⋅84=84
Cevap 257550−84=257466