Heron Formülü Nedir?

30 Haziran 2023 Cuma 18:19

Öğretmen haberleri ve gelişmelerden hemen haberdar olmak için Telegram kanalımıza katılın!

HERON FORMÜLÜ'NE BİR KANIT
Heron formülü, kenar uzunlukları bilinen bir üçgenin alanını hesaplamaya yarayan bir formüldür. u, üçgenin yarıçevresi olmak üzere Heron formülü, alan = √u(u-a)(u-b)(u-c) şeklinde tanımlanır.
GEOMETRİK BİR KANIT
Düzlemde bir ABC üçgeni alalım. Ve bu üçgene ait iç teğet çemberi çizelim (şekil 1). Çözüme ulaşmak için C'den aşağıya dik inelim. Aynı işlemi I için de yapalım (şekil 2). I'dan BC kenarına dik inelim; indiğimiz dik, aynı zamanda iç teğet çemberin yarıçapıdır (şekil 3). Köşelerin isimlerine göre uzunluklarımızı yerleştirelim (şekil 4). Teğetlerin uzunlukları değme noktasına kadar eşittir. O halde m+n = u-c olur. Yeterince dikkat ederseniz, kelebek benzerliğini görebilirsiniz. Kelebekten benzerlik oranı, r/p = m/n eşitliğini bize verecektir (şekil 5). Daha sonrasında B noktası ile çizdiğimiz dikmeyi birleştirelim (şekil 6). Dikkat ederseniz oluşan IBKC dörtgeni, bir kirişler dörtgenidir. Aynı yayı gören çevre açılar eşit olduğundan dolayı CKI açısı da β kadardır. Açı takibi yaparsanız, diğer açıları da görebilirsiniz (şekil 7). Son olarak, iki üçgen için benzerlik yapacağız. CBK üçgeni ile yukarıdaki taralı üçgen, açı-açı benzerliğini sağlar. O halde tanα'lardan r/u-a = p/a'ya eşittir.
Son elde ettiğimiz eşitliği oran-orantıdan r/p = u-a/a şeklinde yazabiliriz. Dolayısıyla r/p = m/n = u-a/a'dır. Bu eşitliği aynı zamanda m/u-a = n/a şeklinde de yazabiliriz. Oran-orantı kuralları gereği payların ve paydaların toplamının oranı, orantı sabitini değiştirmez. Yani aslında m/u-a = n/a eşitliği, m+n/u'ya eşittir ve biraz daha oynarsak: m+n = u-c, m+n/u = u-c/u -> m.u = (u-a)(u-c) eşitliğini elde ederiz.
Elde ettiğimiz şekle (şekil 9) baktığımız zaman, BIQ üçgeninde hipotenüse dik indirildiğini görürüz. O halde o üçgen için Öklid teoremi yaptığımıza karşımıza başka bir eşitlik çıkar: r² = m(u-b), m = r²/u-b
Eğer daha önce elde ettiğimiz eşitlikte m'nin yerine bunu yazarsak; r²/u-b × u = (u-a)(u-c), r²u = (u-a)(u-c)(u-b), r²u² = u(u-a)(u-b)(u-c) -> S² = u(u-a)(u-b)(u-c) eşitliğini bulur, geometrik olarak kanıtı tamamlamış oluruz.